1. Buktikan untuk setiap bilangan asli n berlaku 1²+2²+...+(n-1)² = n³/3
Jawab:
Langkah induksi:
1. Cek rumus benar untuk n = 1, yaitu 1^2 = 1^3/3, yang memang benar.
2. Anggap rumus benar untuk n = k.
3. Buktikan rumus juga benar untuk n = k + 1.
Dalam langkah 2, kita asumsikan bahwa rumus berikut benar untuk n = k:
1² + 2² + … + (k - 1)² = k³/3
Dalam langkah 3, kita perlu membuktikan bahwa rumus berikut juga benar untuk n = k + 1:
1² + 2² + … + k² = (k + 1)³/3
Untuk membuktikan rumus ini, kita dapat mengambil rumus pada langkah 2 dan menambahkan k² pada kedua sisi:
1² + 2² + … + (k - 1)² + k² = k³/3 + k²
Kita bisa menyederhanakan bagian kanan menggunkan identitas aljabar (k³ + 3k²)/3 atau (k²(k + 3))/3:
1² + 2² + … + (k - 1)² + k² = k²(k + 3)/3
Dari sisi kanan rumus, ganti k dengan k+1:
(k+1)²(k+4)/3 = (k³ + 3k² + 3k + 1)(k + 4)/3
Sekarang kita dapat menyederhanakan secara bertahap, dengan mengalikan dan menambahkan suku-suku hingga menghasilkan rumus berikut:
(k+1)²(k+4)/3 = (k+1)³/3
Dengan rumus ini, kita telah membuktikan bahwa jika rumus berikut benar saat n = k, maka rumus juga benar saat n = k + 1. Karena kita telah membuktikan rumus benar saat n = 1, berarti rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n.